Melatih Intuisi Rumus dan Trik Cepat Matematika
Ketika SMA, saya terpesona dengan soal sederhana. Sebuah soal
matematika UMPTN (SPMB) yang hanya melibatkan pemahaman deret aritmetika dan
rumus Pythagoras. Saya yakin pemahaman konsep deret dan Pythagoras ini sangat
membantu untuk sukses Anda dalam UN, SPMB, UMPTN 2008.
Soal sederhana itu adalah:
Sebuah segi tiga
siku-siku, panjang sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika luas segi
tiga tersebut adalah 96 satuan, maka sisi terpendek adalah…
Soal di atas sering muncul pada tahun 90-an. Lalu sempat
menghilang. Lalu muncul lagi. Meski pun pernah menghilang, tetapi
prinsip-prinsip penyelesaian soal itu tetap berguna sampai Anda kuliah di
perguruan tinggi.
Pertama, luas = 96 = ½ x alas x tinggi. Jika kita mengetahui
salah satu dari alas atau tinggi maka langsung dapat menghitungnya. Dan yang
terpendek adalah jawabannya. Tetapi kita belum mengetahui kedua-duanya.
Segi tiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras: x2 + y2 = z2 ;
x atau y adalah yang kita cari. Tetapi kita belum memiliki informasi apa pun
tentang xyz ini.
Barisan aritmetika, berlaku selisih setiap sisi adalah sama.
Atau setiap sisi dapat kita nyatakan sebagai: a, (a+b), (a+2b).
Kedua, dari pemahaman di atas kita dapat mencoba
menyelesaikan soal ini dengan membentuk sebuah sistem persamaan:
96 = ½ . x . y …………………………….(1)
x2 + y2 = z2 ……………………………….(2)
x = a; y = a+b; z = a + 2b ……………(3)
Kita pasti dapat menyelesaikan soal ini. Kita memiliki 3 persamaan
dengan 3 variabel yang belum diketahui (x, y, z). Kita boleh yakin akan
memperoleh jawaban tunggal yang unik.
Sangat bermanfaat bagi kita untuk memahami dengan mendalam
bahwa kita hanya dapat memperoleh solusi unik bila memiliki n persamaan dengan n
variabel yang belum diketahui. Jika kita punya 2 persamaan dengan 3 variable
yang belum diketahui, kita tidak akan dapat menyelesaikan persamaan tersebut
untuk memperoleh jawaban tunggal. Masih terdapat banyak jawaban dari sistem
persamaan ini.
Sedangkan jika kita memiliki 3 persamaan dengan 2 variable,
kita akan memiliki penyelesaian yang tidak konsisten. Pemahaman konsep ini
justru lebih penting dari sekedar mendapatkan jawaban soal UN, SPMB atau UMPTN.
Saya perhatikan soal UN, SPMB, UMPTN sering memunculkan 3
persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui. Sayangnya para siswa banyak
yang tidak memahami ini. Mereka bekerja keras dengan menghitung sana,
menghitung sini. Tetapi tidak akan pernah mendapatkan jawaban yang diharapkan.
Mengapa? Mereka hanya menggunakan 2 persamaan. Tentu tidak
akan selesai. Sebelum mengerjakannya, pastikan dulu apakah kita sudah memiliki
kondisi yang mencukupi?
Kembali ke contoh soal di atas, bagaimana cara kita
menyelesaikan persamaan itu? Secara umum kita dapat menyelesaikannya dengan
teknik eliminasi atau substitusi. Kelak kita akan belajar menyelesaikan sistem
persamaan dengan bantuan aljabar matrik.
Ketiga, mari kita selesaikan sesuai rencana. Substitusi
persamaan (3) ke persamaan (2) kita peroleh:
a2 + (a+b)2 = (a+2b)2
……………(4)
Silakan mencoba menghitungnya. Kombinasikan dengan persamaan
(1) yang sedikit kita ubah menjadi
persamaan (5) berikut:
96 = ½ . a (a+ b)
……..(5)
Pasti kita akan memperoleh nilai a dan b. Tetapi berapa lama
kita akan menemukannya? Bagaimana dengan risiko salah hitung?
Keempat, mari kita cermati seluruh langkah yang kita lakukan.
Barisan aritmetik sering lebih mudah bila kita tulis sebagai:
(a – b), a, (a + b)
………….(6)
Rumus Pythagoras menjadi:
(a – b)2 + a2 = (a +
b)2 …………….(7)
Silakan menghitung persamaan (7) ini. Dengan mudah kita akan
memperoleh:
a = 4b …………(8)
Substitusi ke persamaan luas menjadi:
96 = ½ (a – b).a = ½ (4b – b).4b
Kita peroleh
b = 4 dan
a = 16
Sisi terpendek adalah a – b = 16 – 4 = 12 (Selesai).
Adakah cara lain?
Tentu ada. Mengapa kita tidak memanfaatkan intuisi saja?
Mengapa kita tidak memanfaatkan dugaan saja? Bukankah Einstein menduga bahwa
postulatnya benar? Kemudian dengan postulat ini Einstein mengembangkan
rumus-rumusnya yang menghasilkan E = mc2.
Mari kita coba dengan menduga seperti Einstein!
Postulat:
Hanya ada satu jenis segitiga siku-siku yang sisinya
membentuk barisan aritmetika yaitu segi tiga yang panjang sisinya adalah 3,4,
dan 5 atau kelipatannya.
Mari kita terapkan postulat itu untuk contoh soal kita:
96 = ½ (3n)(4n) ………….(9)
n = 4
Jadi, sisi terpendek adalah 3n = 12 (Selesai).
Dengan banyak memanfaatkan intuisi dan beragam dugaan, kita
memperoleh banyak terobosan dalam matematika. Anda dapat mengembangkan banyak
rumus dan trik cepat matematika dengan memanfaatkan intuisi.
Untuk anak-anak kecil mulai TK di APIQ, kami mendukung agar
anak-anak senang menebak. Setiap ada persoalan, anak-anak akan menduga
jawabannya. Guru tidak akan menyalahkan apa pun hasil dugaan itu. Tugas guru
adalah mengarahkan dugaan itu ke arah yang lebih mendekati jawaban. Atau
mengeksplorasi dugaan itu untuk menemukan inovasi pembelajaran matematika baru.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(Khoirony S, Kom; Prajurit Allah)
Komentar
Posting Komentar